Trigonometrie am Einheitskreis - bettermarks (2024)

Zu jedem Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$360°$ gehört ein Punkt P auf dem$\text{Einheitskreis}$ mit den$\text{Koordinaten}$$\left(x|y\right)$.

Es wird definiert:

$\cos \left(\alpha \right)\text{= x}$$\sin \left(\alpha \right)\text{= y}$

Dabei ist$\alpha$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Radius 0P.

Symmetrien an der x-Achse:

Spiegelst du den Punkt$\text{P}\left(x|y\right)$ an der x-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten$\left(x|-y\right)$.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel$360°$ $-$ $\alpha$.

Wegen$x=\cos \left(\alpha \right)$ und$y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:

$\cos \left(360°-\alpha \right)=x$ und$\sin \left(360°-\alpha \right)=-y$.

Merksatz 1:

Für jeden Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$360°$ gilt:

$\sin \left(360°-\alpha \right)=-\sin \left(\alpha \right)$ und$\cos \left(360°-\alpha \right)=\cos \left(\alpha \right)$

Symmetrien an der y-Achse:

Spiegelst du den Punkt$\text{P}\left(x|y\right)$ an der y-Achse, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten$\left(-x|y\right)$.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$180°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel$180°$ $-$ $\alpha$.

Wegen$x=\cos \left(\alpha \right)$ und$y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:

$\cos \left(180°-\alpha \right)=-x$ und$\sin \left(180°-\alpha \right)=y$.

Merksatz 2:

Für jeden Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$180°$ gilt:

$\sin \left(180°-\alpha \right)=\sin \left(\alpha \right)$ und$\cos \left(180°-\alpha \right)=-\cos \left(\alpha \right)$

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel$\alpha$ zwischen$180°$ und$360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel$360°$ $-$

.

Wegen$x=\cos \left(\alpha \right)$ und$y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:

$\cos \left(360°-\left(\alpha -180°\right)\right)=-x$ und$\sin \left(360°-\left(\alpha -180°\right)\right)=y$.

Spiegelst du den Punkt$\text{P}\left(x|y\right)$ am Ursprung, dann erhälst du den Punkt P' mit den Koordinaten$\left(-x|-y\right)$. Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um$180°$.

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$180°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel$180°$ $+$ $\alpha$.

Wegen$x=\cos \left(\alpha \right)$ und$y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:

$\cos \left(180°+\alpha \right)=-x$ und$\sin \left(180°+\alpha \right)=-y$.

Merksatz 3:

Für jeden Winkel$\alpha$ zwischen$0°$ und$180°$ gilt:

$\sin \left(180°+\alpha \right)=-\sin \left(\alpha \right)$ und$\cos \left(180°+\alpha \right)=-\cos \left(\alpha \right)$

Liegt der zum Punkt P gehörige Winkel$\alpha$ zwischen$180°$ und$360°$, dann ist der zum Punkt P' gehörige Winkel$\alpha$ $-$ $180°$.

Wegen$x=\cos \left(\alpha \right)$ und$y=\sin \left(\alpha \right)$ gilt dann:

$\cos \left(\alpha -180°\right)=-x$ und$\sin \left(\alpha -180°\right)=-y$.

Es gilt dann$\beta =\alpha -360°$.

Aus diesem Grund gibt dir dein Taschenrechner einen negativen Winkel$\beta$ aus, wenn du z.B. die Taste für eine negative Zahl b anwendest.

Den zugehörigen Winkel$\alpha$ erhältst du dann mit

Merksatz 4:

Für jeden Winkel$\alpha$ zwischen$180°$ und$360°$ gilt:

$\sin \left(360°+\alpha \right)=\sin \left(\alpha \right)$ und$\cos \left(360°+\alpha \right)=\cos \left(\alpha \right)$

Da Sinus und Kosinus für verschiedene Winkel die gleichen Werte annehmen können, gibt es für Gleichungen der Form

$\cos \left(x\right)=a$ oder$\sin \left(x\right)=b$

manchmal mehr als eine Lösung zwischen$0°$ und$360°$.